△授時歷議下交食
曆法疏密，驗在交食，然推步之術難得其密，加時有早晚，食分有淺深，取其密合，不容偶然。推演加時，必本於躔離月兆月肉；考求食分。必本於距交遠近；苟入氣盈縮、入轉遲疾未得其正，則合朔不失之先，則失之後。合朔失之先後，則虧食時刻，其能密乎？日月俱東行，而日遲月疾，月追及日，是爲一會。交值之道，有陽曆、陰曆；交會之期，有中前、中後；加以地形南北東西之不同，人目高下邪直之各異，此食分多寡，理不得一者也。今合朔既正，則加時無早晚之差；氣刻適中，則食分無旨弱之失；推而上之，自《詩》、《書》、《春秋》及三國以來所載虧食，無不合焉者。合於既往，則行之悠久，自可無弊矣。
《詩》、《書》所載日食二事《書?胤徵》：“惟仲康肇位四海。乃季秋月朔，辰弗集於房。”今按：《大衍曆》作仲康即位之五年癸巳，距辛巳三千四百八年，九月庚戌朔，泛交二十六日五千四百二十一分入食限。《詩?小雅?十月之交》，大夫剌幽王也。“十月之交，朔日辛卯，日有食之，亦孔之醜。”今按粱太史令虞鄺雲，十月辛卯朔，在幽王六年乙丑朔。《太衍》亦以爲然。以《授時歷》推之，是歲十月辛卯朔，泛交十四日五千七百九分入食限。
《春秋》日食三十六事
隱公三年辛酉歲，春王二月己巳，日有食之。
杜預雲：“不書日，史官失之。”《公羊》雲：“日食或言朔或不言朔，或日或不日，或失之前或失之後，失之前者朔在前也，失之後者朔在後也。”《谷粱》雲：“言日不言朔，食晦日也。”姜岌校《春秋》日食雲：“是歲二月己亥期，無己巳，似失一閏。三月己巳朔，去交分入食限。”《大衍》與姜岌合。今《授時歷》推之，是歲三月己巳朔，加時在晝，去交分二十六日六千六百三十一入食限。桓公三年壬申歲，秋七月壬辰朔，日有食之。姜炭以爲是歲七月癸亥朔，無壬辰，亦失閏。其八月壬辰朔，去交分入食限。《大衍》與姜岌合。以今歷推之，是歲八月壬辰朔，加時在晝，食六分一十四秒。桓公十七年丙戌歲，冬十月朔，日有食之。左氏雲：“不書日，史官失之。”《大衍》推得在十一月交分入食限，失閏也。以今歷推之，是歲十一月加時在晝，交分二十六日八千五百六十入食限。
莊公十八年乙巳歲，春王三月，日有食之。《穀梁》雲：“不言日，不言朔，夜食也。”《大衍》推是歲五月朔，交分入食限，三月不應食。以今歷推之，是歲三月朔，不入食限。五月壬子朔，加時在晝，交分入食限，蓋誤五爲三。
莊公二十五年壬子歲，六月辛未朔，日有食之。
《大衍》推之，七月辛未朔，交分入食限。以今歷推之，是歲七月辛未朔，加時在晝，交分二十七日四百八十九入食限，失閏也。
莊公二十六年癸丑歲，冬十有二月癸亥朔。日有食之。今歷推之，是歲十二月癸亥朔，加時在晝，交分十四日三千五百五十一入食限。
莊公三十年丁巳歲，九月庚午朔，日有食之。今歷推之，是歲十月庚午朔，加時在晝，去交分十四日四千六百九十六入食限，失閏也。《大衍》同。僖公十二年癸酉歲，春王三月庚午朔，日有食之。
姜氏雲：“三月朔，交不應食，在誤條；其五月庚午朔，去文分入食限。”《大衍》同。今歷推之，是歲五月夷午朔，加時在晝，去交分二十六日五千一百九十二入食限，益五誤爲三。僖公十五年丙子歲，夏五月，日有食之。
左氏雲：“不書朔與日，史官失之也。”《大衍》推四月癸丑朔，去交分入食限，差一閏。今歷推之，是歲四月癸丑朔，去交分一日一千三百一十六入食限。文公元年乙未歲，二月癸亥朔，日有食之。
姜氏雲：“二月甲午朔，無癸亥。三月癸亥朔，入食限。“《大衍》亦以爲然。今歷推之，是歲三月癸亥朔，加時在晝，去交分二十六日五千九百十七分入食限，失閏也。文公十五年己酉歲，六月辛丑朔，日有食之。
今歷推之，是歲六月辛丑朔，加時在晝，交分二十六日四千四百七十三分入食限。宣公八年庚申歲，秋七月甲子，日有食之。
杜預以七月甲子晦食。姜氏雲：“十月甲子朔，食。”《大衍》同。今歷推之，是歲十月甲子朔，加時在晝，食九分八十一秒，蓋十誤的七。宣公十年壬戍歲。夏四月丙辰朔，日有食之。
今歷推之，是月丙辰朔，加時在晝，交分十四日九百六十八分入食限。宣公十七年己巳歲，六月癸卯，日有食之。
姜氏雲：“六月甲辰朔，不應食。”《大衍》雲：“是年五月在交限，六月甲辰朔，交分已過食限，益誤。”今歷推之，是歲五月乙亥朔，入食限，六月甲辰朔，泛交二日已過食限，《大衍》爲是。成公十六年丙戌歲，六月丙寅朔，日有食之。
今歷推之，是歲六月丙寅朔，加時在晝，去交分二十六日九千八百三十五分入食限。成公十七年丁亥歲，十有二月丁巳朔，日有食之。
姜氏雲：“十二月戊子朔，無丁巳，似失閏。《大衍》推十一月丁巳朔，交分入食限。今歷推之，是歲十一月丁巳朔，加時在晝，交分十四日二千八百九十七分入食限，與《大衍》同。襄公十四年壬寅歲，二月乙未朔，日有食之。
今歷推之，是歲二月乙未朔，加時在晝，交分十四日一千三百九十三分入食限。襄公十五年癸卯歲，秋八月丁巳朔，日有食之。
姜氏雲：“七月丁巳朔，食，失閏也。”《大衍》同。今歷推之，是歲七月丁巳朔，加時在晝，去交分二十六日三千三百九十四分入食限。襄公二十年戊申歲，冬十月丙辰朔，日有食之。
今歷推之，是歲十月丙辰朔，加時在晝，交分十三日七千六百分入食限。襄公二十一年己酉歲，秋七月庚戌朔，日有食之。
今歷推之，是月庚戌朔，加時在晝，交分十四日三千六百八十二分入食限。冬十月庚辰朔，日有食之。
姜氏雲：“比月而食，宜在誤條。”《大衍》亦以爲然。今歷推之，十月已過交限，不應頻食，姜說爲是。襄公二十三年辛亥歲，春王二月癸酉朔，日有食之。
今歷推之，是月癸酉朔，加時在晝，交分二十六日五千七百三分入食限。襄公二十四年壬子歲，秋七月甲子朔，日有食之，既。
今歷推之，是月甲子朔，加時在晝，日食九分六秒。八月癸巳朔，日有食之。
《漢志》：“董仲舒以爲比食又既。”大衍雲：“不應頻食，在誤條。”今歷推之，交分不葉，不應食，《大衍》說是。襄公二十七年乙卯歲，冬十有二月乙亥朔。日有食之，姜氏雲：“十一月乙亥朔，交分入恨，應食。”《大衍》同。今歷推之，是歲十一月乙亥朔，加時在晝，交分初日八百二十五分入食限。昭公七年丙寅歲，反四月申辰朔，日有食之。
今歷推之，是月甲辰朔，加時在晝，交分二十七日二百九十八分入食限。昭公十五年甲戌歲，六月丁巳朔，日有食之。《大衍》推五月丁巳朔，食，失一閏。今歷推之，是歲五月丁巳朔，加時在晝，交分十三日九千五百六十七分入食限。昭公十七年丙子歲，夏六月甲戌朔，日有食之。
姜氏雲：“六月乙巳朔，交分不葉，不應食，當誤。”《大衍》雲：“當在九月朔，六月不應食，姜氏是也。”今歷推之，是歲九月甲戌朔，加時在晝，交分二十六日七千六百五十分入食限。昭公二十一年庚辰歲秋，七月壬年朔，日有食之。今歷推之，是月壬午朔，加時在晝，交分二十六日八千七百九十四分入食限。昭公二十二年辛巳歲，冬十有二月癸酉朔，日有食之。
今歷推之，是月癸酉朔，交分十四日一千八百入食限。杜預以長曆推之，當爲癸卯，非是。按郭知杜誤者，法以下距至元辛巳一千八百年。於歲實內長一十九分用以相乘，得六十五億七千四百三十九萬九千二百分，爲中積。內減閏應餘六十五億七千四百一十九萬七千一百五十分，滿朔實，去之，餘九萬六千五百三十七分三十四秒，反減朔實，餘一十九萬八千七百六十八分五十九秒，爲閏餘，以日周之，即一十九日八十七刻六寸八分五十九秒也。再依前法，求得本年冬至日分爲三十五日一十四刻，內減閏餘，存一十五日二十六刻三十一分四十三秒，算外即乙卯日二十六刻，是爲是年正月經朔。再加十一朔實，即十二月經朔。因閏餘分滿一十八萬六十五朔五十二分○九秒者，其年有閏，故須加十二朔實，依法加十二朔實，並十五日二十六刻三十一分四十一秒，共三百六十九日六十三刻○二分五十七秒，滿紀法，去之，餘九日六十三刻○二分五十七秒，算外即癸酉日也。杜言癸卯，蓋少置一閏月耳。昭公二十四年癸未歲，夏五月乙未朔，日有食之。
今歷推之，是月乙未朔，加時在晝，交分二十六日三千八百三十九分入食限。昭公三十一年庚寅歲，十有二月辛亥朔，日有食之。
今歷推之，是月辛亥朔，加時在晝，交分二十六日六千一百二十八入食限。定公五年丙申歲，春王三月辛亥期，日有食之。
今歷推之，三月辛卯朔。加時在晝，交分十四日三百三十四分入食限。定公十二年癸卯歲，十一月丙寅朔，日有食之。
今歷推之，是歲十月丙寅朔，加時在晝，交分十四日二千六百二十二分入食限，蓋失一閏。定公十五年丙午歲，八月庚辰朔，日有食之。
今歷推之，是月庚辰朔，加時在晝，交分十三日七千六百八十五分入食限。哀公十四年庚申歲，五月庚申朔，日有食之。今歷推之，是月庚申朔，加時在晝，交分二十六日九千二百一分入食限。右《詩》、《書》所載日食二事，《春秋》二百四十二年間，凡三十有六事。以《授時歷》推之，惟襄公二十一年十月庚辰朔及二十四年八月癸巳朔不入食限。蓋自有歷以來，無比月而食之理。其三十四食，食皆在朔，經或不書日，不書朔，《公羊》、《谷粱》以爲食晦，二者非。左氏以爲史官失之者，行之，其間或差一日、二日者，蓋由古歷疏闊，置閏失當之弊，姜岌、一行已有定說。孔子作書。但因時歷以書，非大義所關。故不必致詳也。三國以來日食蜀章武元年辛丑，六月戊辰晦，時加未。
《授時歷》，食甚未五刻。
《大明曆》，食甚未五刻。
右皆親。二歷推戊辰皆七月朔。魏黃初三年壬寅，十一月庚申晦食，時加西南維。
《授時歷》，食甚申二刻。
《大明曆》，食甚申三刻。
右《授時》親，《大明》次親。二歷推庚申皆十二月朔。粱中大通五年癸丑，四月己未朔食，在丙。
《授時歷》，虧初午四刻。
《大明曆》，虧初午四刻。右皆親。太清元年丁卯，正月己亥朔食，時加申。
《授時歷》，食甚中一刻。
《大明曆》，食甚申三刻。右《授時》次親，《大明》親。陳太建八年丙申，六月戊申朔食，於卯甲間。《授時歷》，食甚卯二刻。
《大明曆》，食甚卯四刻。
右《授時》次親，《大明》疏遠。唐永隆元年庚辰，十一月壬申朔食，巳四刻甚。《授時歷》，食甚巳七刻。
《大明曆》，食甚巳五刻。
右《授時》疏，《大明》親。開耀元年辛巳，十月丙寅朔食。巳初甚。《授時歷》食甚辰正三刻。《大明曆》食甚辰正一刻。
右《授時》親，《大明》疏。嗣聖八年辛卯，四月壬寅朔食，卯二刻甚。
《授時歷》。食甚寅八刻。《大明曆》。食甚卯初刻。
右皆次親。十七年庚子，五月己酉朔食，申初甚。《授時歷》，食甚申初二刻。《大明曆》，食甚申正初刻。
右《授時》次親，《大明》疏遠。十九年壬寅，九月乙丑朔食，申三刻甚。
《授時歷》，食甚申一刻。
《大明曆》，食甚申四刻。
右《授時》次親，《大明》親。景龍元年丁未，六月丁卯朔食，午正甚。
《授時歷》，食甚午正二刻。
《大明曆》，食甚未初初刻。
右《授時》次親，《大明曆》疏遠。開元九年辛酉，九月己巳朔食，午正後三刻甚。
《授時歷》，食甚午正一刻。
《大明曆》，食甚午正二刻。
右《授時》次親，《大明》親。宋慶曆六年丙戌，三月辛巳朔食，申正三刻復滿。
《授時歷》，復滿申正三刻。
《大明曆》，復滿申正一刻。
右《授時》密合，《大明》次親。皇祐元年己丑，正月甲午朔食，午正甚。
《授時歷》，食甚午初二刻。
《大明曆》，食甚午正初刻。
右《授時》親，《大明》密合。五年癸巳，十月丙申朔食，未一刻甚。
《授時歷》，食甚未三刻。
《大明曆》，食甚未刻初。
右《授時》次親。《大明》親。至和元年甲午，四月甲午朔食，申正一刻甚。
《授時歷》，食甚申正一刻。
《大明曆》，食甚申正二刻。
右《授時》密合，《大明》親。嘉祐四年己亥，正月丙申朔食，未三刻復滿。
《授時歷》，復滿未初二刻。
《大明曆》，復滿未初二刻。右皆親。六年辛丑，六月壬子朔食，未初虧初。
《授時歷》，虧初未初刻。
《大明曆》，虧初未一刻。
右《授時》親，《大明》次親。治平三年丙午，九月壬子朔食，未二刻甚。
《授時歷》，食甚未三刻。
《大明曆》，食甚未四刻。
右《授時》親，《大明》次親。熙寧二年己酉，七月乙丑朔食，辰三刻甚。
《授時歷》，食甚辰五刻。
《大明曆》，食甚辰四刻。
右《授時》次親，《大明》親。元豐三年庚申，十一月己丑朔食，巳六刻甚。
《授時歷》，食甚巳五刻。
《大明曆》，食甚巳二刻。
右《授時》親，《大明》疏遠。紹聖元年甲戌，三月壬申朔食，未六刻甚。
《授時歷》，食甚未五刻。
《大明曆》，食甚未五刻。
右皆親。大觀元年丁亥，十一月壬子朔食，未二刻虧初，未八刻甚，申六刻復滿。
《授時歷》，虧初未三刻，食甚申初刻，復滿申六刻。《大明曆》，虧初未初刻，食甚未七刻，復滿申五刻。
右《授時歷》虧初、食甚皆親，復滿密合。《大明》虧初。
次親，食甚、復滿皆親。紹興三十二年壬午，正月戊辰朔食，申虧初。
《授時歷》，虧初申一刻。
《大明曆》，虧初未七刻。
右皆親。淳熙十年癸卯，十一月壬戌朔食，巳正二刻甚。
《授時歷》，食甚巳正二刻。
《大明曆》，食甚巳正一刻。
右《授時》密合，《大明》親。慶元元年乙卯，三月丙戌朔食，年初二刻虧初。
《授時歷》，虧初年初一刻。
《大明曆》，虧初午初二刻。
右《授時》虧初親，《大明》虧初密合。嘉泰二年壬戌，五月甲辰朔食，午初一刻虧初。
《授時歷》，虧初巳正三刻。
《大明曆》，虧初午初三刻。
右皆親。嘉定九年丙子，二月甲申朔食，申正四刻甚。
《授時歷》，食甚申正三刻。
《大明曆》，食甚申正二刻。
右《授時》親，《大明》次親。淳祐三年癸卯，三月丁丑朔食，巳初二刻甚。
《授時歷》，食甚巳初一刻。
《大明曆》，食甚巳初初刻。
右《授時》親，《大明》次親。本朝中統元年庚申，三月戊辰朔食，申正二刻甚。
《授時歷》，食甚申正一刻。
《大明曆》，食甚申初三刻。
右《授時》親，《大明》疏。至元十四年丁丑，十月丙辰朔食，午正初刻虧初，未初一刻食甚，未初一刻食甚。未正二刻復滿。
《授時歷》，虧初午正初刻，食甚未初一刻，復滿未正一刻。
《大明曆》，虧初午正三刻，食甚未正一刻，復滿申初二刻。
右《授時》虧初、食甚皆密合，復滿親。《大明》虧初疏，食甚、復滿皆疏遠。前代考古交食，同刻者爲密合，相較一刻爲親，二刻爲次親，三刻爲疏，四刻爲疏遠。今《授時》、《大明》枝古日食，上自後漢章武元年，下訖本朝，計五十五事。密合者，《授時》七，《大明》二。親者，《授時》十有七，《大明》十有六。次親者，《授時》十，《大明》八。疏者，《授時》一，《大明》三。疏遠者，《授時》無，《大明》六。前代月食。
宋元嘉十一年甲戌，七月丙子望食，四更二唱虧初，四更四唱食既。
《授時歷》，虧初在四更三點，食既在四更四點。
《大明曆》，虧初在四更二點，食既在四更五點。
右《授時》虧初親，食既密合。《大明》虧初密合，食既親。十三年丙子，十二月己巳望食，一更三唱食既。
《授時歷》，食既在一更三點。
《大明曆》，食既在一更四點。
右《授時》密合，《大明》親。十四年丁丑，十一月丁丑望食，二更四唱虧初，三更一唱食既。
《授時歷》，虧初在二更五點，食既在三更二點。
《大明曆》虧初在二更四點，食既在三更二點。右《授時》虧初、食既皆親。《大明》虧初密合，食既親。粱中大通二年庚戌，五月庚寅望月食，在子。
《授時歷》，食甚在子正初刻。
《大明曆》，食甚在子正初刻。右皆密合。大同九年癸亥，三月乙已望食，三更三唱虧初。
《授時歷》，虧初三更一點。
《大明曆》，虧初三更三點。
右《授時》次親，《大明》密合。隋開皇十二年壬子，七月己未望食，一更三唱虧初。
《授時歷》，虧初在一更四點。
《大明曆》虧初在一更五點。
右《投時》親，《大明》次親。十五年乙卯，十一月庚午望食，一更四點虧初，二更三點食甚，三更一點復滿。
《授時歷》，虧初在一更三點，食甚在二更二點，復滿在二更五點。
《大明曆》，虧初在一更五點。食甚在二更二點，復滿在二更五點。
右《授時》虧初、食甚、復滿皆親，《大明》虧初、復滿皆親，食甚密合。十六年丙辰，十一月甲子望食，四更三籌復滿。
《授時歷》，復滿在四更四點。
《大明曆》復滿在四更五點。
右《授時》親，《大明》次親。後漢天福十二年丁未，十二月乙未望食，四更四點虧初。
《授時歷》，虧初在四更五點。
《大明曆》，虧初在四更一點。
右《授時》親，《大明》次親。朱皇祐四年壬辰，十一月丙辰望食，寅四刻虧初。
《授時歷》，虧初在寅二刻。
《大明曆》，虧初在寅一刻。
右《授時》次親，《大明》疏。
嘉祐八年癸卯，十月癸未望食，卯七刻甚。
《授時歷》，食甚在辰初刻，
《大明曆》，食甚在辰初刻。
右皆親。熙寧二年己酉，閏十一月丁未望食，亥六刻虧初，子五刻食甚，醜四刻復滿。
《授時歷》，虧初在亥六刻，食甚在子五刻，復滿在丑三刻。
《大明曆》，虧初在子初刻，食甚在子六刻，復滿在醜四刻。
右《授時》虧初、食甚密合，復滿親。《大明》虧初次親，食甚親，復滿密合。四年辛亥，十一月丙申望食，卯二刻虧初，卯六刻甚。
《授時歷》，虧初在卯初刻，食甚在卯五刻。
《大明曆》，虧初在卯四刻。食甚在卯七刻。
右虧初皆次親，食甚皆親。六年癸丑，三月戊午望食，亥一刻虧初，亥六刻甚，子四刻復滿。
《授時歷》，虧初在戌七刻，食甚在亥五刻，復滿在子三刻。
《大明曆》，虧初在亥二刻，食甚在亥七刻，復滿在子四刻。
右《授時》虧初次親，食甚、復清皆親。《大明》虧初、食甚皆親，復滿密合。七年甲寅，九月己酉望食，四更五點虧初，五更三點食既。
《授時歷》，虧初在四更五點，食既在五更三點。《大明曆》，虧初在四更三點，食既在五更二點。
右《授時》虧初、食既皆密合。《大明》虧初次親，食既親。崇寧四年乙酉，十二月戊寅望食，酉三刻甚，戌初刻復滿。
《授時歷》，食甚在酉一刻，復滿在酉七刻。
《大明曆》，食甚在酉三刻，復滿在戊二刻。
右《授時》食甚、復滿皆次親。《大明》食甚、密合、復滿次親。本朝至元七年庚午，三月甲寅望食，丑三刻虧初，寅初刻食甚，寅六刻復滿。
《授時歷》，虧初在醜二刻，食甚在寅初刻，復滿在寅六刻。
《大明曆》，虧初在醜四刻，食甚在寅一刻，復滿在寅七刻。
右《授時》虧初親，食甚、復滿密合。《大明》虧初、食甚、復滿皆親。九年壬申，七月辛未望食，醜初刻虧初，醜六刻食甚，寅三刻復滿。
《授時歷》，虧初在子七刻，食甚在醜四刻，復滿在寅一刻。
《大明曆》，虧初在醜二刻，食甚在醜六刻，復滿在寅二刻。
右《授時》虧初親，食甚、復滿皆次親。《大明》虧初次親，食甚密合，復滿親。十四年丁丑，四月癸酉望食，子六刻虧初，丑三刻食既，醜五刻甚，醜七刻生光，寅四刻復滿。
《授時歷》，虧初在子六刻，食既在醜四刻，食甚在醜五刻，生光醜六刻，復滿寅四刻。
《大明曆》，虧初在醜初刻，食既醜七刻，食甚在醜七刻，生光在醜八刻，復滿寅六刻。
右《授時》虧初、食甚、復滿皆密合，食既、生光皆親。
《大明》虧初、食甚、復滿皆次親，食既疏遠，生光親。十六年己卯。二月壬辰望食，子五刻虧初，醜二刻其，醜七刻復滿。
《授時歷》，虧初在子五刻，食甚大丑二刻，復滿在醜七刻。
《大明曆》，虧初在子七刻，食甚在丑三刻，復滿在醜七刻。
右《授時》虧初、食甚、復滿皆密合。《大明》虧初次親，食甚親，復滿密合。八月己丑望食，醜五刻虧初，寅初刻甚。寅四刻復滿。
《授時歷》，虧初在丑三刻，食甚在寅初刻，復滿在寅四刻。
《大明曆》，虧初在醜七刻，食甚在寅二刻，復滿在寅四刻。
右《授時》虧初次親，食甚、復滿皆密合。《大明》虧初、食甚皆次親，復滿密合。十七年庚辰，八月甲申望食，在晝戌一刻復滿。
《授時歷》，復滿在戌一刻。
《大明曆》，復滿在戌四刻。
右《授時》密合，《大明》疏。
已上四十五事密合者，《授時》十有八，《大明》十有一；親者，《授時》十有八，《大明》十有七；次親者，《授時》九，《大明》十有四；疏者，《授時》無，《大明》二；疏遠者，《授時》無，《大明》一。
定朔
日平行一度，月平行十三度十九分度之七，一晝夜之間，月先日十二度有奇，歷二十九日五十三刻，復追及日，與之同度，是謂經朔。經朔雲者，謂合朔大量不出此也。日有盈縮，月有遲疾，以盈縮遲疾之數損益之，始爲定朔。
古人立法，簡而未密，初用平朔，一大一小，故日食有在朔二，月食有在望前後者。漢張衡以月行遲疾，分爲九道；宋何承天以日盈縮，推定小余；故月有三大二小。隋劉孝孫、劉焯欲遵用其法，時議排抵，以爲迂怪，率不能行。唐傅仁均始採用之，至貞觀十九年九月後，四月頻大。複用平朔。訖麟德元年，始用李淳風《甲子元歷》，定朔之法遂行。淳風又以晦月頻見，故立進朔之法，謂朔日小余在日法四分之三已上，虛進一日，後代皆循用之。然虞廣刂嘗曰：“朔在會同，苟躔次既合，何疑於頻大；日月相離，何拘於間小。”一行亦曰：“天事誠密，雖四大三小，庸何傷。”今但取辰集時刻所在之日以爲定朔，朔雖小余在進限，亦不之進。甚矣，人之安於故習也。初曆法用平朔，止知一大一小，爲法之不可易，初聞三大二小之說，皆不以爲然。自有歷以來，下訖麟德，而定朔始行，四大三小，理數自然，唐人弗克若天。而止用平朔。迨本朝至元，而常議方革。至如進朔之意，止欲避晦日月見，殊不思合朔在酉戌亥，距前日之卯十八九辰矣，若進一日，則晦不見月，此論誠然。苟合朔在辰申之間，法不當進，距前日之卯巳逾十四五度，則月見於晦，庸得免乎？且月之隱見，本天道之自然，朔之進退，出入爲之牽強，孰若廢人用天，不復虛進，爲得其實哉。至理所在，奚恤乎人言，可爲知者道也。
不用積年日法
曆法之作，所以步日月之躔離，候氣朔之盈虛，不揆其端，無以測知天道，而與之吻合。然日月之行遲速不同，氣朔之運參差不一，昔人立法，必推求往古生數之始，謂之演紀上元。當斯之際，日月五星同度，如合璧連珠然。惟其世代綿遠，馴積其數至逾億萬，後人厭其布算繁多，互相推考，斷截其數而增損日法，以爲得改憲之術，此歷代積年日法所以不能相同者也。然行之未遠，浸復差失，蓋天道自然，豈人爲附會所能苟合哉。夫七政運行於天，進退自有常度，苟原始要終，候驗周匝，則象數昭著，有不容隱者，又何必舍目前簡易之法，而求億萬年宏闊之術哉。
今《授時歷》以至元辛巳爲元，所用之數，一本諸天，秒而分，分而刻，刻而日，皆以百爲率，比之他歷積年日法，推演附會，出於人爲者，爲得自然。或曰：“昔人謂建歷之本，必先立元，元正然後定日法，法定然後度周天以定分至，然則歷之有積年日法尚矣。自黃帝以來。諸歷轉相祖述，殆七八十家，末聞舍此而能成者。今一切削去，無乃昧於本原，而考求未得其方歟”？是殆不然。晉杜預有云：“治歷者，當順天以求合，非爲合以驗天。”前代演積之法，不過爲合驗天耳。今以舊曆頗疏，乃命釐正，法之不密，在所必更，奚暇踵故習哉。遂取漢以來諸歷積年日法及行用年數，具列於後，仍附演積數法，以釋或者之疑。
《三統曆》西漢太初元年丁丑鄧平造，行一百八十八年，至東漢元和乙酉，後天七十八刻。
積年，一十四萬四千五百一十一。
日法，八十一。
《四分曆》東漢元和二年乙酉編?造，行一百二十一年。至建安丙戌，後天七刻。
積年，一萬五百六十一。
日法，四。
《乾象曆》建安十一年丙戌劉洪造，行三十一年，至魏景初丁巳，後天七刻。
積年，八千四百五十二。
日法，一千四百五十七。
《景初歷》魏景初元年丁巳楊偉造，行二百六年，至宋元嘉癸未，先天五十刻。
積年，五千八十九。
日法，四千五百五十九。
《元嘉歷》宋元嘉二十年癸未何承天造，行二十年，至大明七年癸卯，先天五十刻。
積年，六千五百四十一。
日法，七百五十二。
《大明曆》宋大明七年癸卯宋祖沖之造，行五十八年，至魏正光辛丑，後天二十九刻。
積年，五萬二千七百五十七。
日法，三千九百三十九。
《正光歷》後魏正光二年辛丑李業興造，行一十九年，至興和庚申，先天十三刻。
積年，一十六萬八千五百九。
日法，七萬四千九百五十二。
《興和歷》興和二年庚申李業興造，行一十年。至齊天保庚午，先天九十九刻。
積年，二十萬四千七百三十七。
日法，二十萬八千五百三十。
《天保歷》北齊天保元年庚午宋景業造，行一十七年，至周天和丙戌，後天一日八十七刻。
積年，一十一萬一千二百五十七。
日法，二萬三千六百六十。
《天和歷》後周天和元年丙戌甄鸞造，行一十三年，至大象己亥，先天四十刻。
積年，八十七萬六千五百七。
日法，二萬三千四百六十
《大象歷》大象元年己亥馮顯造，行五年，至隋開皇甲辰，後天十刻。
積年，四萬二千二百五十五。
日法，一萬二千九百九十二。
《開皇曆》隋開皇四年甲辰張賓造，行二十四年，至大業戊辰，後天七刻。
積年，四百一十二萬九千六百九十七。
日法，一十萬二千九百六十。
《大業歷》大業四年戊辰張胄元造，行一十一年，至唐武德己卯，後天七刻。
積年，一百四十二萬八千三百一十七。
日法，一千一百四十四。
《戊寅歷》唐武德二年己卯道士傅仁均造，行四十六年，至麟德乙丑，後天四十七刻。
積年，一十六萬五千三。
日法一萬三千六百。
《麟德歷》麟德二年乙丑李淳風造，行六十三年，至開元戊辰，後天一十二刻。
積年，二十七萬四百九十七。
日法，一千三百四十。
《大衍曆》開元十六年戊辰僧一行造，行三十四年，至寶應壬寅，先天一十四刻。
積年，九千六百九十六萬二千二百九十七。
日法，三千四十。
《五紀曆》寶應元年壬寅郭獻之造，行二十三年，至貞元乙丑，後天二十四刻。
積年，二十七萬四百九十七。
日法，一千三百四十。
《貞元歷》貞元元年乙丑徐承嗣造，行二十七年，至長慶壬寅，先天十五刻。
積年，四十萬三千三百九十七。
日法，一千九十五。
《宣明歷》長慶二年壬寅徐昂造；行七十一年，至景福癸丑，先天四刻。按：宣明術不著撰人姓名，徐昂所著觀象術，則已失傳，且造於元和初，非長慶也。其誤始於周琮，而守敬因之。
積年，七百七萬五百九十七。
日法，八千四百。
《崇元歷》景福二年癸丑邊岡造，行十四年，後六十三年，至周顯德丙辰，先天四刻。
積年，五千三百九十四萬七千六百九十七。
日法，一萬三千五百。
《欽天曆》五代周顯德三年丙辰王樸造，行五年。至宋建隆庚申，先天二刻。
積年，七千二百六十九萬八千七百七十七。
日法，七千二百。
《應天曆》宋建隆元年庚申王處訥造，行二十一年，至太平興國辛巳，後天二刻。
積年，四百八十二萬五千八百七十七。
日法。一萬單二。
《乾元歷》太平興國六年辛巳吳昭素造，行二十年，至鹹平辛丑，合。
積年，三千五十四萬四千二百七十七。
日法，二千九百四十。
《儀天曆》鹹平四年辛丑史序造，行二十三年。至天聖甲子，合。
積年，七十一萬六千七百七十七。
日法，一萬一千。
《崇天曆》天聖二年甲子宋行古造，行四十年，至治平甲辰，後天五十四刻。
積年，九千七百五十五萬六千五百九十七。
日法，一萬五百九十。
《明天曆》治平元年甲辰周琮造，行一十年，至熙寧甲寅，合。
積年，七十一萬一千九百七十七。
日法，三萬九十。
《奉元歷》熙寧十七年甲寅衛樸造，行十八年，至元祐壬申。後天七刻。
積年，八千三百一十八萬五千二百七十七。
日法，二萬三千七百。
《觀天曆》元祐七年壬申皇居卿造。行三十一年，至崇寧癸未，先天六刻。
積年，五百九十四萬四千九百九十七。
日法。一萬二千三十。
《佔天曆》崇寧二年癸未姚舜輔造，行三年，至丙戍，後天四刻。
積年，二千五百五十萬一千九百三十七。
日法，二萬八千八十。
《紀元歷》崇寧五年丙戌姚舜輔造，行二十一年，至金天會丁未，合。
積年，二千八百六十一萬三千四百六十七。
日法，七千二百九十。
《大明曆》金天會五年丁未楊級造，行五十三年，至大定庚子，合。
積年，三億八千三百七十六萬八千六百五十七。
日法，五千二百三十。
《重修大明曆》大定二十年庚子趙知微重修，行一百一年，至元朝至元辛巳，後天一十九刻。
積年，八千八百六十三萬九千七百五十七。
日法，五千二百三十。
《統元歷》後宋紹興五年乙卯陳德一造，行三十二年，至乾道丁亥，合。
積年，九千四百二十五萬一千七百三十七。
日法，六千九百三十。
《乾道歷》乾道三年丁亥劉孝榮造，行九年，至淳熙丙申，後天一刻。
積年，九千一百六十四萬五千九百三十七。
日法，三萬。
《淳熙歷》淳熙三年丙申劉孝榮造，行一十五年，至紹熙辛亥，合。
積年，五千二百四十二萬二千七十七。
日法，五千六百四十。
《會元歷》紹熙二年辛亥劉孝榮造，行八年，至慶元己未，後天一十刻。
積年，二千五百四十九萬四千八百五十七。
日法，三萬八千七百。
《統天曆》慶元五年己未楊忠輔造，行八年，至開僖丁卯，先天六刻。
積年，三千九百一十七。
日法，一萬二千。
《開禧歷》開禧三年丁卯鮑浣潮之造，行四十四年，至淳祐辛亥，後天七刻。
積年，七百八十四萬八千二百五十七。
日法，一萬六千九百。
《淳歷》淳祐十年庚戌李德卿造，行二年，至壬子，合。
積年，一億二千二十六萬七千六百七十七。
日法，三千五百三十。
《會天曆》寶祐元年癸丑譚玉造，行十八年，至鹹淳辛未，後天一刻。
積年，一千一百三十五萬六千一百五十七。
日法，九千七百四十。
《成天曆》鹹淳七年辛未陳鼎造，行四年，至至元辛巳，後天一刻。
積年，七千一百七十五萬八百五十九。
日法，七千四百二十。
此下不曾行用，見於典籍經進者二歷。
《皇極曆》大業間劉焯造。阻難不行，至唐武德三年己卯，先天四十三刻。
積年，一百萬九千五百一十七。
日法，一千二百四十二。
《乙未歷》大定二十年庚子耶律履造，不見行用，至辛巳，後天一十九刻。
積年，四千四十三萬二千一百二十六。
日法，二千六百九十。
《授時歷》至元十八年辛巳爲元。
積年、日法不用。
實測到至元十八年辛巳歲。
氣應，五十五日六百分。
閏應，二十日一千八百五十分。
經朔，三十四日八千七百五十分。
日法，二千一百九十，演紀上元己亥，距至元辛巳九千八百二十五萬一千四百二十二算。
氣應，五十五日六百二分。
閏應，二十日一千八百五十三分。
經朔，二十四日八千七百四十九分。
日法，八千二百七十，演紀上元甲子，距辛巳五百六十七萬五百五十七算，日命甲子
氣應，五十五日五百三十三分。
閏應，二十日一千八百八分。
經朔，三十四日八千七百二十五分。
日法，六千五百七十，演紀上元甲子，距辛巳三千九百七十五萬二千五百三十七算。
氣應，五十五日六百三十一分。
閏應，二十日一千九百一十九分。
經朔，三十四日八千七百一十二分。